Question

設直線y=x+2與拋物線y=ax²（a＞0）相交于A，B兩點，M是線段AB的中點，過點M作x軸的垂線交拋物線于點N．
（Ⅰ）證明：拋物線在N點處的切線與AB平行；
（Ⅱ）是否存在實數a，使得NA⊥NB？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將直線的方程y=x+2代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用導數的幾何意義即可求得切線的斜率，從而解決問題拋物線在N點處的切線與AB平行的問題；
（Ⅱ）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在實數a，使得NA⊥NB，再利用M是線段AB的中點及AB的長，列出方程求出a值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）由

y=x+2 y=ax2

得ax²-x-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

1

a

，x1x2=-

2

a

•xN=xM=

x1+x2

2

=

1

2a

，yN=a

x

2 N

=

1

4a

•
由y′=（ax²）′=2ax知，拋物線在N點處的切線的斜率為2a•

1

2a

=1，
因此，拋物線在點N處的切線與直線AB平行．
（Ⅱ）假設存在實數a，使NA⊥NB．
由M是線段AB的中點，∴|MN|=

1

2

|AB|．
由MN⊥x軸，知|MN|=|

1

2a

+2-

1

4a

|=

1

4a

+2，
又|AB|=

2

•|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

1 a2 + 8 a

，(

1

4a

+2)2=

1

4

×2×(

1

a2

+

8

a

)，解得a=

7

8

或a=-

1

8

（舍去）．
存在實數a=

7

8

，使得NA⊥NB．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、直線與圓錐曲線的綜合問題等知識；需要注意的是（2）題中存在性問題的證明方法，即對于存在性問題，可先假設存在，求出參數，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．