Question

【題目】已知點F為拋物線C:y2=4x的焦點,點P是準線l上的動點,直線PF交拋物線于A,B兩點,若點P的縱坐標是m(m≠0),點D為準線l與x軸的交點.

(1)若m=2,求△DAB的面積;

(2)設=λ=μ,求證:λ+μ為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

⑴代入，求出直線的斜率，聯立直線方程與拋物線方程求出的長度，然后求出高，就可以得到面積

⑵==，變化為坐標表示式，從中求出參數、，用兩點A,B的坐標表示的表達式，即可得證

(1)解由題知點P,F的坐標分別為(-1,2),(1,0),于是直線PF的斜率為1,

所以直線PF的方程為y=-(x-1).

設A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),

由直線與拋物線聯立得x2-6x+1=0,

所以x1+x2=6,x1x2=1,

于是|AB|=x1+x2+2=8.

點D到直線x+y-1=0的距離d=,

所以S=×8×=4.

(2)證明由直線y=-(x-1),與拋物線聯立得m2x2-(2m2+16)x+m2=0,

所以x1+x2=,x1x2=1.

因為=λ=μ,

所以(1-x1,-y1)=λ(x2-1,y2),(-1-x1,m-y1)=μ(x2+1,y2-m),

于是λ=,μ=(x2≠±1).

所以λ+μ=

==0.