Question

某公園準(zhǔn)備建一個(gè)摩天輪，摩天輪的外圍是一個(gè)周長為K米的圓．在這個(gè)圓上安裝座位，且每個(gè)座位和圓心處的支點(diǎn)都有一根直的鋼管相連．經(jīng)預(yù)算，摩天輪上的每個(gè)座位與支點(diǎn)相連的鋼管的費(fèi)用為12K元/根，且當(dāng)兩相鄰的座位之間的圓弧長為X米時(shí)，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個(gè)座位的總費(fèi)用為[

(512X2+20)X

100

+8]K元，假設(shè)座位等距離分布，且至少有四個(gè)座位，所有座位都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價(jià)為Y元．
（Ⅰ）試寫出Y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（Ⅱ）當(dāng)K=100米時(shí)，試確定座位的個(gè)數(shù)，使得總造價(jià)最低？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，總造價(jià)y中包括座位和圓心處的支點(diǎn)間的鋼管的費(fèi)用，相鄰座位之間的鋼管與座位的費(fèi)用，故只需算出座位的個(gè)數(shù)即知鋼管的個(gè)數(shù)，將兩項(xiàng)費(fèi)用表示出來，相加即得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）將k=100米代入函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即得最低的總造價(jià)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)摩天輪上總共有n個(gè)座位，則x=

k

n

，即n=

k

x

，
∴y=12k×

k

x

+

k

x

[

(512x2+20)x

100

+8]k=k²（

20

x

+

512x2+20

100

），
定義域{x|0＜x≤

k

4

，

k

x

∈Z}；（6分）
（Ⅱ）當(dāng)k=100時(shí)，0＜x≤25，令y=100（

2000

x

+512x²+20）
f（x）=

2000

x

+512x²，則f′（x）=-

2000

x2

+1024x=0，
∴x³=

1000

512

，∴x=

5

4

，（10分）
當(dāng)x∈（0，

5

4

）時(shí)，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（0，

5

4

）上單調(diào)減，
當(dāng)x∈（

5

4

，25）時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（

5

4

，25）上單調(diào)增，
∴y_min在x=

5

4

時(shí)取到，此時(shí)座位個(gè)數(shù)為

100

5 4

=80個(gè)．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決現(xiàn)實(shí)中造價(jià)最優(yōu)的一個(gè)應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)建函數(shù)，在求最值時(shí)要根據(jù)函數(shù)的形式選擇合適的方法．