Question

某公園準備建一個摩天輪，摩天輪的外圍是一個周長為k米的圓．在這個圓上安裝座位，且每個座位和圓心處的支點都有一根直的鋼管相連．經預算，摩天輪上的每個座位與支點相連的鋼管的費用為12k元/根，且當兩相鄰的座位之間的圓弧長為x米時，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個座位的總費用為[

(512x2+20)x

100

+8]k元，假設座位等距離分布，且至少有四個座位，所有座位都視為點，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價為y元．
（Ⅰ）試寫出y關于x的函數關系式，并寫出定義域；
（Ⅱ）當k=100米時，試確定座位的個數，使得總造價最低？

Answer 1

分析：（Ⅰ）設摩天輪上總共有n個座位，則x=

k

n

即n=

k

x

，由此能寫出y關于x的函數關系式，并寫出定義域．
（Ⅱ）當k=100時，0＜x≤25，令y=100(

2000

x

+512x2+20)f(x)=

2000

x

+512x2，則f′(x)=-

2000

x2

+1024x=

-2000+1024x3

x2

=0．由此當k=100米時，能確定座位的個數，使得總造價最低．

解答：解：（Ⅰ）設摩天輪上總共有n個座位，
則x=

k

n

，即n=

k

x

，
∴y=12k

k

x

+

k

x

[

(512x2+20)x

100

+8]k=k2(

20

x

+

512x2+20

100

)，
定義域{x|0＜x≤

k

4

，

k

x

∈Z}；
（Ⅱ）當k=100時，0＜x≤25，
令y=100(

2000

x

+512x2+20)f(x)=

2000

x

+512x2，
則f′(x)=-

2000

x2

+1024x=

-2000+1024x3

x2

=0，
∴x3=

1000

512

，
∴x=

5

4

，
當x∈(0，

5

4

)時，f'（x）＜0，即f（x）在x∈(0，

5

4

)上單調減，
當x∈(

5

4

，25)時，f'（x）＞0，即f（x）在x∈(

5

4

，25)上單調增，
∴y_min在x=

5

4

時取到，此時座位個數為

100

5 4

=80個．

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，解題時要認真審題，注意分析數量間的相互關系，合理地建立方程，注意函數最小值的求法．