Question

【題目】設函數．

求的單調區間；

當時，若對任意的，都有，求實數的取值范圍；

證明不等式.

Answer 1

【答案】（1）的遞減區間為，遞增區間為；（2）；（3）詳見解析

【解析】

求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；問題等價于對恒成立，令，根據函數的單調性求出的取值范圍，從而可得結果； 由知對任意的恒成立，令得：，，累加即可證明結論．

函數的定義域為，

令，則，

當時，遞增區間為，沒有遞減區間；

時，當時，，當時，，

所以的遞減區間為，遞增區間為

，即，

，，

原不等式等價于對恒成立，令，

則對恒成立，

時，，

故所求a的范圍為

由知不等式對任意的和恒成立，

則對任意的恒成立，令得：

，

，2，，n，再迭加即可，

得