Question

【題目】已知P是圓上任意一點，F2(1,0)，線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點Q，當點P在圓F1上運動時，記點Q的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）過點的直線l與（1）中曲線相交于A，B兩點，O為坐標原點，求△AOB面積的最大值及此時直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）.（2）面積的最大值為，此時直線l的方程為.

【解析】

（1）根據垂直平分線的性質，利用橢圓定義法可求得曲線C的方程；

（2）設直線l的方程為x=ty與橢圓交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立直線與橢圓的方程消去x，利用韋達定理結合三角形的面積，利用換元法以及基本不等式求解最值，然后推出直線方程.

（1）由已知|QF1|+|QF2|=|QF1|+|QP|=|PF1|=4，

所以點Q的軌跡為以為，焦點，長軸長為4的橢圓，

則2a=4且2c=2，所以a=2，c=1，則b2=3，

所以曲線C的方程為；

（2）設直線l的方程為x=ty與橢圓交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，

聯立直線與橢圓的方程消去x，得(3t2+4)y2﹣6ty﹣3=0，

則y1+y2，y1y2，

則S△AOB|OM||y1﹣y2|，

令，則u≥1，上式可化為，

當且僅當u，即t=±時等號成立，

因此△AOB面積的最大值為，此時直線l的方程為x=±.