Question

【題目】如圖，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點(diǎn)．在五棱錐P－ABCDE中，F為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC分別交于點(diǎn)G，H.

(1)求證：AB∥FG；

(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE.求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）點(diǎn)H的坐標(biāo)為()．PH＝2.

【解析】試題分析：（1）運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理即可證得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE為正方形，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系Axyz，分別求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐標(biāo)，設(shè)平面ABF的法向量為n=（x，y，z），求出一個值，設(shè)直線BC與平面ABF所成的角為α，運(yùn)用sinα=|cos＜n， ＞|，求出角α；設(shè)H（u，v，w），再設(shè) (0＜λ＜1)，用λ表示H的坐標(biāo)，再由n =0，求出λ和H的坐標(biāo)，再運(yùn)用空間兩點(diǎn)的距離公式求出PH的長．

試題解析：

(1)在正方形AMDE中，因?yàn)?/span>B是AM的中點(diǎn)，所以AB∥DE.

又因?yàn)?/span>AB平面PDE，所以AB∥平面PDE.

因?yàn)?/span>AB平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FC，

所以AB∥FG.

(2)因?yàn)?/span>PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A－xyz，

則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，＝(1,1,0)．

設(shè)平面ABF的法向量為n＝(x，y，z)，則

即

令z＝1，則y＝－1.所以n＝(0，－1,1)．

設(shè)直線BC與平面ABF所成角為α，則

sinα＝|cos<n， >|＝||＝.

因此直線BC與平面ABF所成角的大小為.

設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(u，v，w)．

因?yàn)辄c(diǎn)H在棱PC上，所以可設(shè)＝λ (0＜λ＜1)，

即(u，v，w－2)＝λ(2,1，－2)，

所以u＝2λ，u＝λ，w＝2－2λ.

因?yàn)?/span>n是平面ABF的法向量，所以n·＝0，

即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0.

解得λ＝，所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為(，，)．

所以PH＝＝2.