Question

（2007•湛江二模）已知△ABC中，B=C=

2π

5

，記cosA=x，cosB=cosC=y．
（Ⅰ）求證：1+y=2x²；
（Ⅱ）若△ABC的面積等于2sin

π

5

，求AC邊上的中線BD的長．

Answer 1

分析：（I）利用cosA=x，cosB=cosC=y，結合二倍角公式，可證結論；
（II）利用三角形的面積公式，結合b=c，A=

π

5

，求出BC，進而可求BD的長．

解答：（Ⅰ）證明：∵B=C=

2π

5

，∴A=π-(B+C)=π-

4π

5

=

π

5

∴1+y=1+cos

2π

5

=2cos2

π

5

=2x2．…（6分）
（Ⅱ）解：設△ABC中，角B、C所對的邊分別為b、c，則有

1

2

bcsinA=2sin

π

5

，
∵b=c，A=

π

5

，
∴b2sin

π

5

=4sin

π

5

，故b=c=2．…（9分）
又BD2=c2+(

b

2

)2-2×c×

b

2

cosA=22+12-2×2×1×cos

π

5

=5-4cos

π

5

，
∴BD=

5-4cos π 5

．…（12分）

點評：本題考查余弦定理的運用，考查二倍角公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．