Question

11、函數y=f（x）是定義在R上的增函數，函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱．若實數x，y滿足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，則x²+y²的取值范圍是

（4，6）

．

Answer 1

分析：根據f（x）的圖象關于點（0，0）對稱．推斷出函數f（x）為奇函數，根據函數為增函數及f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，可知x²-6x＜-y²+8y-24，化簡得（x-3）²+（y-4）²＜1，求x²+y²的范圍實際是求點（3，4）為圓心，以1為半徑的圓內的點到原點的距離，進而得到答案．

解答：解：∵函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱．
∴函數f（x）為奇函數，
∵f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0
∴f（x²-6x）＜-f（y²-8y+24）=f（-y²+8y-24）
∵函數f（x）為增函數
∴x²-6x＜-y²+8y-24
即：（x-3）²+（y-4）²＜1
x²+y²的范圍則為以點（3，4）為圓心，以1為半徑的圓內的點到原點的距離
∴4＜x²+y²＜6
故答案為：（4，6）

點評：本題主要考查函數單調性和奇偶性的綜合運用．本題采用了數形結合的方法，把x²+y²轉化為圓內的點到原點的距離．