Question

【題目】已知拋物線的對稱軸為坐標軸，頂點是坐標原點，準線方程為x=﹣1，直線l與拋物線相交于不同的A，B兩點．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）如果直線l過拋物線的焦點，求 的值；
（3）如果 ，直線l是否過一定點，若過一定點，求出該定點；若不過一定點，試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：已知拋物線的對稱軸為坐標軸，頂點是坐標原點，準線方程為x=﹣1，

所以 ，p=2．

∴拋物線的標準方程為y2=4x

（2）

解：設l：my=x﹣1，與y2=4x聯立，得y2﹣4my﹣4=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4，

∴

（3）

解：假設直線l過定點，設l：my=x+n，

，得y2﹣4my+4n=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4m，y1y2=4n．

由 ，解得n=﹣2，

∴l：my=x﹣2過定點（2，0）

【解析】（1）由拋物線的準線方程可知： ，p=2．即可求得拋物線方程；（2）設l：my=x﹣1，代入拋物線方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得 的值；（3）設直線l方程，my=x+n，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得n的值，可知直線l過定點．