Question

（2012•臨川區模擬）請考生在下列兩題中任選一題作答．若兩題都做，則按做的第一題評閱計分．
（1）已知曲線C₁、C₂的極坐標方程分別為ρ=-2cos(θ+

π

2

)，

2

ρcos(θ-

π

4

)+1=0，則曲線C₁上的點與曲線C₂上的點的最遠距離為

2

+1

．
（2）設a=

x2-xy+y2

，b=p

xy

，c=x+y，若對任意的正實數x，y，都存在以a，b，c為三邊長的三角形，則實數p的取值范圍是

（1，3）

．

Answer 1

分析：（1）先將曲線的極坐標方程方程化為普通方程，曲線C1的普通方程為x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1．表示以C（0，1）為圓心，半徑為1 的圓．曲線C2的普通方程為x+y+1=0，表示一條直線．利用直線和圓的位置關系求解．
（2）由基本不等式可得a≥

xy

，c≥2

xy

，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊可得，

xy

+2

xy

＞b=p

xy

，且p

xy

+

xy

＞2

xy

，p

xy

+2

xy

＞

xy

，由此求得實數p的取值范圍．

解答：曲線C₁極坐標方程為ρ=-2cos(θ+

π

2

)，即ρ=2sinθ，ρ²=2ρsinθ
化為直角坐標方程為x²+y²-2y=0．即x2+（y-1）2=1．
表示以C（0，1）為圓心，半徑為1 的圓．
C₂的極坐標方程為，

2

ρcos(θ-

π

4

)+1=0，即

2

ρ（

2

2

cosθ+

2

2

sinθ）+1=0，
化為普通方程為x+y+1=0，表示一條直線
如圖，圓心到直線距離d=|CQ|=

2

2

2

，曲線C₁上的點與曲線C₂上的點的最遠距離為|PQ|=d+r=

2

+1
（2）對于正實數x，y，由于a=

x2-xy+y2

≥ 

2xy -xy

=

xy

，c=x+y≥2

xy

，b=p

xy

，且三角形任意兩邊之和大于第三邊，所以

xy

+2

xy

＞b=p

xy

，且p

xy

+

xy

＞2

xy

，p

xy

+2

xy

＞

xy

，．
解得 1＜p＜3，故實數p的取值范圍是（1，3），
故答案為：

2

+1，（1，3）．

點評：（1）本題以曲線參數方程出發，考查了極坐標方程、普通方程間的互化，直線和圓的位置關系．（2）本題主要考查基本不等式的應用，注意不等式的使用條件，以及三角形中任意兩邊之和大于第三邊，屬于中檔題．