Question

已知數列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，數列{bn}的前n項和Tn＝2－bn.

(1)求數列{an}與{bn}的通項公式；

(2)設cn＝·bn，證明：當且僅當n≥3時，cn＋1<cn..

 

Answer 1

（1）bn＝21－n（2）見解析

【解析】(1)【解析】
a1＝S1＝4，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.

又a1＝4適合上式，∴an＝4n(n∈N*)．

將n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，∴T1＝b1＝1.

當n≥2時，Tn－1＝2－bn－1，Tn＝2－bn，

∴bn＝Tn－Tn－1＝bn－1－bn，

∴bn＝bn－1，∴bn＝21－n.

(2)證明：證法1：由cn＝·bn＝n2·25－n，得.

當且僅當n≥3時，1＋≤<，即cn＋1<cn.

證法2：由cn＝·bn＝n2·25－n，

得cn＋1－cn＝24－n[(n＋1)2－2n2]＝24－n[－(n－1)2＋2]．

當且僅當n≥3時，cn＋1－cn<0，即cn＋1<cn