Question

已知點C為圓（x+1）²+y²=8的圓心，點A（1，0），P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP上，且

MQ

•

AP

=0，

AP

=2

AM

．
（1）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；
（2）設過點（0，2）且斜率為2的直線l與（1）中所求的曲線交于B，D兩點，O為坐標原點，求△BDO的面積．

Answer 1

分析：（1）把題中條件轉化為MQ是線段AP的垂直平分線，得出點Q的軌跡是以點C和點A為焦點，半焦距c=1，長半軸的a=

2

的橢圓即可點Q的軌跡方程；
（2）求出（0，0）到直線L的距離以及利用弦長公式求出|BD|的長即可求△BDO的面積．

解答：解：（1）由題得，MQ是線段AP的垂直平分線，故|QC|+|QA|=|QC|+|QP|=|CP|=2

2

＞|CA|=2，
于是點Q的軌跡是以點C和點A為焦點，半焦距c=1，長半軸的a=

2

的橢圓，短半軸b=

a2-b2

=1．
所以點Q的軌跡方程是：

x2

2

+y2=1．．
（2）因直線L過點（0，2）且斜率為2，則直線方程為y=2x+2，即2x-y+2=0．
故點（0，0）到直線L的距離d=

2

22+1

=

2 5

5

．．
把y=2x+2代入（1）中的方程

x2

2

+y²=1，化簡得9x²+16x+6=0．△=16²-4×9×6=40＞0
．設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

16

9

，x₁•x₂=

2

3

．
∴|BD|=

1+ k2

|x₁-x₂|=

5[(- 16 9 )2-4× 2 3

]=

10 2

9

．
故△BDO的面積S_△BOD=

1

2

•|BD|•d=

2 10

9

．

點評：在求動點的軌跡方程問題時，一般是利用條件找到動點所在曲線或找到關于動點坐標的等式，可得動點的軌跡方程．