Question

已知點p是圓（x+1）²+y²=16上的動點，圓心為B．A（1，0）是圓內的定點；PA的中垂線交BP于點Q．
（1）求點Q的軌跡C的方程；
（2）若直線l交軌跡C于M，N（MN與x軸、y軸都不平行）兩點，G為MN的中點，求K_MN•K_OG的值（O為坐標系原點）．

Answer 1

分析：（1）利用垂直平分線的性質可得|QA|=|QP|，由|QB|+|QP|=4，可得|QB|+|QA|=4，利用橢圓的定義可得點Q的軌跡是一個橢圓；
（2）法一：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），則G(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．代入可得

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，利用點差法可得

y 2 1 - y 2 2

x 2 1 - x 2 2

=-

3

4

．再利用斜率計算公式即可得出K_MN•K_OG的值；
法二：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），直線MN的方程為y=kx+b（k≠0），則G(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，
由于y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，可得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b，利用斜率計算公式可得kOG=

y1+y2

x1+x2

=k+

2b

x1+x2

，將y=kx+b代入橢圓方程得：（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，利用根與系數的關系可得x1+x2=-

8kb

4k2+3

，代入得到kOG=k+

2b

-8kb 4k2+3

=k-

4k2+3

4k

=-

3

4k

，即可得出K_MN•K_OG的值．

解答：解：（1）由條件知：|QA|=|QP|，
∵|QB|+|QP|=4，
∴|QB|+|QA|=4，
∵|AB|=2＜4，
所以點Q的軌跡是以B，A為焦點的橢圓，
∵2a=4，2c=2，∴b²=3，
所以點Q的軌跡C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），則G(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．
∵直線l與橢圓相較于點M，N，
∴

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，
∴

x 2 1 - x 2 2

4

+

y 2 1 - y 2 2

3

=0，可得

y 2 1 - y 2 2

x 2 1 - x 2 2

=-

3

4

．
∵kMN=

y1-y2

x1-x2

，kOG=

y1+y2

x1+x2

，
∴kMN×kOG=

y 2 1 - y 2 2

x 2 1 - x 2 2

=-

3

4

．
另解：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），直線MN的方程為y=kx+b（k≠0），
則G(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，
∵y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b，
∴kOG=

y1+y2

x1+x2

=k+

2b

x1+x2

，
將y=kx+b代入橢圓方程得：（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，
∴x1+x2=-

8kb

4k2+3

，
∴kOG=k+

2b

-8kb 4k2+3

=k-

4k2+3

4k

=-

3

4k

，
所以kMN•kOG=k•(-

3

4k

)=-

3

4

．

點評：本題綜合考查了圓與橢圓的定義及其標準方程、線段的垂直平分線、直線與橢圓相交問題轉化為根與系數的關系、直線的斜率計算公式、點差法等基礎知識與基本技能，考查了數形結合的能力、推理能力、計算能力．