Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA=AB=4，G為PD中點，E點在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（Ⅰ）求證：AG⊥平面PCD；
（Ⅱ）求證：AG∥平面PEC；
（Ⅲ）求直線AC與平面PCD所成角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AG⊥平面PCD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AG與平面PCD內兩相交直線垂直，根據CD⊥AD，CD⊥PA，可證得CD⊥平面PAD，從而CD⊥AG，又PD⊥AG滿足線面垂直的判定定理條件；
（Ⅱ）欲證AG∥平面PEC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AG與平面PEC內一直線平行，作EF⊥PC于F，根據面面垂直的性質可知EF⊥平面PCD，而AG⊥平面PCD，則EF∥AG，又AG?面PEC，EF?面PEC，滿足定理所需條件；
（Ⅲ）可以連接CG，構造直角三角形ACG，可知∠ACG即為直線AC與平面PCD所成角，解直角三角形，求出∠ACG的大小；

解答：證明：（Ⅰ）∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AG，
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD           …（4分）
（Ⅱ）證明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD
∴EF∥AG，又AG?面PEC，EF?面PEC，
∴AG∥平面PEC     …（4分）
（Ⅲ）連接CG，∴

AG⊥CG，則∠ACG為所求的角．

在Rt三角形ACG中，∠AGC=90°
可得

AG= 1 2 AC，∠ACG=30°

…2分．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及線面平行的判定和點到平面的距離的度量，同時考查了空間想象能力、運算求解能力、推理論證的能力，屬于中檔題；