Question

（2012•江西）若函數h（x）滿足
①h（0）=1，h（1）=0；
②對任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上單調遞減．則稱h（x）為補函數．已知函數h（x）=(

1-xp

1+λxp

)

1

p

（λ＞-1，p＞0）
（1）判函數h（x）是否為補函數，并證明你的結論；
（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函數h（x）的中介元，記p=

1

n

（n∈N₊）時h（x）的中介元為x_n，且S_n=

n

i=1

xi，若對任意的n∈N₊，都有S_n＜

1

2

，求λ的取值范圍；
（3）當λ=0，x∈（0，1）時，函數y=h（x）的圖象總在直線y=1-x的上方，求P的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可通過對函數h（x）=(

1-xp

1+λxp

)

1

p

（λ＞-1，p＞0）進行研究，探究其是否滿足補函數的三個條件來確定函數是否是補函數；
（2）由題意，先根據中介元的定義得出中介元x_n通式，代入S_n=

n

i=1

xi，計算出和，然后結合極限的思想，利用S_n＜

1

2

得到參數的不等式，解出它的取值范圍；
（3）λ=0，x∈（0，1）時，對參數p分灰討論由函數y=h（x）的圖象總在直線y=1-x的上方這一位置關系進行轉化，解出p的取值范圍．

解答：解：（1）函數h（x）是補函數，證明如下：
①h（0）=(

1-0p

1+λ×0p

)

1

p

=1，h（1）=(

1-1

1+λ

)

1

p

=0；
②任意a∈[0，1]，有h（h（a））=h（(

1-ap

1+λ×ap

)

1

p

）=(

1- 1-ap 1+λ×ap

1+λ× 1-ap 1+λ×ap

)

1

p

=(

(1+λ)ap

1+λ

)

1

p

=a
③令g（x）=（h（x））^p，有g′（x）=

-pxp-1(1+λ×xp)-(1-xp)λpxp-1

(1+λ×xp)2

=

-p(1+λ)xp-1

(1+λ×xp)2

，因為λ＞1，p＞0，
所以當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上是減函數，故h（x）在（0，1）上是減函數
由上證，函數h（x）是補函數
（2）當p=

1

n

（n∈N^*），由h（x）=x得λx

2

n

+2x

1

n

-1=0(*)，
（i）當λ=0時，中介元x_n=(

1

2

)n，
（ii）當λ＞-1且λ≠0時，由（*）得x

1

n

=

1

1+λ +1

∈（0，1）或x

1

n

=

1

1- 1+λ

∉（0，1），得中介元x_n=(

1

1+λ? +1

)n，
綜合（i）（ii）：對任意的λ＞-1，中介元為x_n=(

1

1+λ? +1

)n，
于是當λ＞-1時，有S_n=

n

i=1

x1=

n

i=1

(

1

1+λ? +1

)i=

1

1+λ?

(1-(

1

1+λ? +1

)n)＜

1

1+λ?

，
當n無限增大時，(

1

1+λ? +1

)n無限接近于0，S_n無限接近于

1

1+λ?

，
故對任意的非零自然數n，S_n＜

1

2

等價于

1

1+λ?

≤

1

2

，即λ∈[3，+∞）
（3）當λ=0時，h（x）=(1-xp)

1

p

，中介元為xp=(

1

2

)

1

p

．
（i）0＜p≤1時，

1

p

≥1，中介元為xp=(

1

2

)

1

p

≤

1

2

，所以點（x_p，h（x_p））不在直線y=1-x的上方，不符合條件；
（ii）當p＞1時，依題意只需(1-xp)

1

p

＞1-x在x∈（0，1）時恒成立，也即x^p+（1-x）^p＜1在x∈（0，1）時恒成立
設φ（x）=x^p+（1-x）^p，x∈（0，1），則φ′（x）=p（x^p-1-（1-x）^p-1）
令φ′（x）=0，得x=

1

2

，且當x∈（0，

1

2

）時，φ′（x）＜0，當x∈（

1

2

，1）時，φ′（x）＞0，又φ（0）=φ（1）=1，所以x∈（0，1）時，φ（x）＜1恒成立．
綜上，p的取值范圍是（1，+∞）

點評：本題考查綜合法與分析法，探究性強，難度較大，綜合考查了轉化的思想，導數在最值中的運用，極限的思想，綜合性強，運算量大，對邏輯推理要求較高，極易出錯或者找不到轉化的方向，解題時要嚴謹認真，避免馬虎出錯