Question

甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，比賽停止時一共已打局：
（1）列出隨機變量的分布列；
（2）求的期望值E．

Answer 1

（1）

ξ	2	4	6
P

（2）

解析試題分析：（1）先列出隨機變量所有可能值，為2，4，6.再分別討論三種情況下，兩者輸贏情況,需全面考慮，不能遺漏,如時，甲可以全贏，也可全輸，不能一贏一輸；時，前兩局必是甲一贏一輸；而后兩局必是某人全贏；時，可利用概率和為，求其“補集”即可；也可直接計算，此時需要注意前四局分布情況是：前兩局必是甲一贏一輸；接下來的兩局也必是甲一贏一輸，但最后的兩局卻沒有限制；（2）利用期望值計算公式Eξ＝2×＋4×＋6×＝
試題解析：解法1：
（1）依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6.
設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為()2＋()2＝.     4分
若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響.從在則有
，           7分
∴ξ的分布列為

ξ	2	4	6
P

   9分
（2）Eξ＝2×＋4×＋6×＝.                12分
解法2：（1）依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6.
令Ak表示甲在第k局比賽中獲勝，則k表示乙在第k局比賽中獲勝.
由獨立性與互斥性得
＝P(A1A2)＋P()＝，                         2分
＝P()＋P()＋P()＋P()
＝2[()3()＋()3()]＝，                   4分
＝P()＋P()＋P()＋P()
＝4()2()2＝，                              7分
∴ξ的分布列為