Question

【題目】如圖所示的某種容器的體積為，它是由圓錐和圓柱兩部分連結(jié)而成的，圓柱與圓錐的底面圓半徑都為.圓錐的高為，母線與底面所成的角為；圓柱的高為.已知圓柱底面造價(jià)為元，圓柱側(cè)面造價(jià)為元，圓錐側(cè)面造價(jià)為元.

（1）將圓柱的高表示為底面圓半徑的函數(shù)，并求出定義域；

（2）當(dāng)容器造價(jià)最低時(shí)，圓柱的底面圓半徑為多少？

Answer 1

【答案】（1），定義域?yàn)?/span>.（2）

【解析】

（1）由題由圓柱與圓錐體積公式得，得即可；（2）由圓柱與圓錐的側(cè)面積公式得容器總造價(jià)為，求導(dǎo)求最值即可

（1）因?yàn)閳A錐的母線與底面所成的角為，所以，

圓錐的體積為，圓柱的體積為.

因?yàn)?/span>，所以，

所以.

因?yàn)?/span>，所以.

因此.

所以，定義域?yàn)?/span>.

（2）圓錐的側(cè)面積，

圓柱的側(cè)面積，底面積.

容器總造價(jià)為.

令，則.令，得.

當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)增函數(shù).

因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，為元.

所以總造價(jià)最低時(shí)，圓柱的底面圓半徑為.