Question

已知函數f（x）=log₃（x²-2mx+2m²+

9

m2-3

）的定義域為R．
（1）求實數m的取值集合M；
（2）求證：對m∈M所確定的所有函數f（x）中，其函數值最小的一個是2，并求使函數值等于2的m的值和x的值．

Answer 1

分析：（1）將函數的定義域為R轉化成x²-2mx+2m²+

9

m2-3

＞0對任意的x∈R恒成立，然后利用判別式建立關系即可；
（2）利用基本不等式求出對數的真數的最小值，然后根據對數函數的單調性求出f（x）的最小值，從而建立關系式，解之即可求出所求．

解答：解：（1）由題意，有x²-2mx+2m²+

9

m2-3

＞0對任意的x∈R恒成立
所以△=4m²-4（2m²+

9

m2-3

）＜0
即-m²-

9

m2-3

＜0
∴

(m2- 3 2 )2+27

m2-3

＞0
由于分子恒大于0，只需m²-3＞0即可
所以m＜-

3

或m＞

3

∴M={m|m＜-

3

或m＞

3

}
（2）x²-2mx+2m²+

9

m2-3

=（x-m）²+m²+

9

m2-3

≥m²+

9

m2-3

當且僅當x=m時等號成立．
所以，題設對數函數的真數的最小值為m²+

9

m2-3

又因為以3為底的對數函數為增函數
∴f（x）≥log₃（m²+

9

m2-3

）
∴當且僅當x=m（m∈M）時，f（x）有最小值為log₃（m²+

9

m2-3

）
又當m∈M時，m²-3＞0
∴m²+

9

m2-3

=m²-3+

9

m2-3

+3≥2

(m2-3)• 9 m2-3

+3=9
當且僅當m²-3=

9

m2-3

，即m=±

6

時，
log₃（m²+

9

m2-3

）有最小值log₃（6+

9

6-3

）=log₃9=2
∴當x=m=±

6

時，其函數有最小值2．

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及基本不等式的應用，同時考查了轉化的思想和計算的能力，屬于中檔題．