Question

【題目】已知函數f（x）=ln（x+1）﹣ax，a∈R．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）當x＞1時，f（x﹣1）≤ 恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）的定義域為（﹣1，+∞），

f'（x）= = ；

①若a≤0，則f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增；

②若a＞0，則f'（x）=0得x= ，

當x∈（﹣1， ）時，f'（x）＞0，

當x∈（ ，+∞）時，f'（x）＜0；

∴f（x）在（﹣1， ）上單調遞增，在（ ，+∞）上單調遞減．

綜上，當a≤0時，f（x）的單調增區間為（﹣1，+∞）；

當a＞0時，f（x）的單調增區間為（﹣1， ），單調減區間為（ ）；

（2）解：f（x﹣1）﹣ = ；

令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），x≥1，g'（x）=lnx+1﹣2ax；

令h（x）=lnx+1﹣2ax，h'（x）= ﹣2a= ；

①若a≤0，h'（x）＞0，g'（x）在[1，+∞）遞增，g'（x）≥g'（1）=1﹣2a≥0；

∴g（x）在[1，+∞）上遞增，g（x）≥g（1）=0；

從而f（x﹣1）﹣ ≥0，不符合題意．

②若0＜a＜ ，當x∈（1， ）時，h'（x）＞0，g'（x）在（1， ）上遞增，

從而g'（x）＞g'（1）=1﹣2a＞0；

所以，g（x）在[1，+∞）遞增，g（x）≥g（1）=0；

從而f（x﹣1）﹣ ≥0，不符合題意．

③若a≥ ，h'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，

所以g'（x）在[1，+∞）上遞減，g'（x）≤g'（1）=1﹣2a≤0；

從而g（x）在[1，+∞）遞減，

所以g（x）≤g（1）=0；

∴f（x﹣1）﹣ 0；

綜上所以，a的取值范圍是[ ，+∞）．

【解析】（1）首先對f（x）求導，分類討論a判斷函數的單調性即可；（2）由題意知：f（x﹣1）﹣ = ，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），x1，g'（x）=lnx+1﹣2ax，令h（x）=lnx+1﹣2ax，h'（x）= ﹣2a= ；利用導數判斷函數的單調性從而求出a的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．