Question

已知橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，試確定m的范圍，使得橢圓上有不同的兩點關于直線y=4x+m對稱．

Answer 1

分析：根據對稱性可知線段AB被直線y=4x+m垂直平分，從而可得直線AB的斜率k=-

1

4

，直線AB與橢圓有兩個交點，且AB的中點M在直線y=4x+m，可設直線AB 的方程為y=-

1

4

x+b，聯立方程

y=- x 4 +b x2 4 + y2 3 =1

整理可得13x²-8bx+16（b²-3）=0可求中點M，由△=64b²-4×13×16（b²-3）＞0可求b的范圍，由中點M在直線y=4x+m可得m，b 的關系，從而可求m的范圍

解答：解：設橢圓上關于直線y=4x+m對稱的點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則根據對稱性可知線段AB被直線y=4x+m垂直平分．
可得直線AB的斜率k=-

1

4

，直線AB與橢圓有兩個交點，且AB的中點M（x₀，y₀）在直線y=4x+m，
故可設直線AB 的方程為y=-

1

4

x+b，

y=- x 4 +b x2 4 + y2 3 =1

整理可得13x²-8bx+16（b²-3）=0，
所以x1+x2=

8b

13

，y1+y2=-

1

4

(x1 +x2)+2b=

24b

13

，
由△=64b²-4×13×16（b²-3）＞0可得，-

13

2

＜b ＜ 

13

2

所以x0=

4b

13

，y0=

12b

13

代入直線y=4x+m可得m=

-4b

13

所以，-

2 13

13

＜m＜

2 13

13

．

點評：本題主要考查了直線與橢圓的位置關系的應用，解題的關鍵是靈活應用已知中的對稱性設出直線方程，且由中點在y=4x+m上建立m，b之間的關系，還要注意方程的根與系數的關系的應用．