Question

【題目】已知函數f(x)= -lnx-.

（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

（Ⅱ）求證：lnx≥-

（Ⅲ）判斷曲線y=f(x)是否位于x軸下方，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）(-1)x-y-+1=0；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）函數求導得切線斜率為f’(1)= -1，再利用直線的點斜式求解即可；

（Ⅱ）要證明lnx≥-,(x>0)”等價于“xlnx≥-”，設函數g(x)=xlnx，求導結合單調性得g()即可證得；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知lnx≥，所以f(x)≤- ()，求導結合單調性得k(x)≤k(1)=0恒成立，即可證得.

試題解析：

函數的定義域為(0,+∞)，

f’(x)=- -+

（Ⅰ）f’(1)= -1，又f(1)=-

曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為

y+=(-1)x-+1.

即(-1)x-y-+1=0.

（Ⅱ）“要證明lnx≥-,(x>0)”等價于“xlnx≥

設函數g(x)=xlnx.

令g’(x)=1+lnx=0，解得.

x	（0， ）		（）
g（x）	-	0	+
g（x）	遞減		遞增

因此，函數g(x)的最小值為g()=-，故xlnx≥.

即lnx≥.

（Ⅲ）曲線y=f(x)位于x軸下方.理由如下：

由（Ⅱ）可知lnx≥，所以f(x)≤-= ().

設k(x)= ，則k’(x)=

令k’(x)>0得0<x<1；令k’(x)<0得x>1.

所以k(x)在(0,1)上為增函數，(1，+∞)上為減函數.

所以當x>0時，k(x)≤k(1)=0恒成立,當且僅當x=1時，k(1)=0.

又因為f(1)=- <0，所以f(x)<0恒成立.

故曲線y=f(x)位于x軸下方.