Question

（本題滿分16分）

已知圓O：，O為坐標原點．

（1）邊長為的正方形ABCD的頂點A、B均在圓O上，C、D在圓O外，當點A在圓O上運動時，C點的軌跡為E．

①求軌跡E的方程；

②過軌跡E上一定點作相互垂直的兩條直線，并且使它們分別與圓O、軌跡E 相交，設被圓O截得的弦長為，設被軌跡E截得的弦長為，求的最大值．

  （2）正方形ABCD的一邊AB為圓O的一條弦，求線段OC長度的最值．

 

Answer 1

解：（1）①連結OB，OA，因為OA=OB=1，AB=，所以，

所以，所以，在中，，2分

所以軌跡E是以O為圓心，為半徑的圓，

所以軌跡E的方程為；                    ………………………3分

②設點O到直線的距離分別為，

因為，所以，               ……………5分

則，

則

≤4=

，                                ……………8分

當且僅當，即時取“=”，

所以的最大值為；                               ……………9分

（2）設正方形邊長為a，，則，．  

當A、B、C、D按順時針方向時，如圖所示，在中，

，

即

       ，

  由，此時；…………12分

當A、B、C、D按逆時針方向時，在中，

，

即

       ，

  由，此時，………15分

  綜上所述，線段OC長度的最小值為，最大值為．     ………16分