Question

數列{a_n}滿足a₁＝，前n項和S_n＝a_n．

(1)寫出a₂、a₃、a₄；

(2)猜出a_n的表達式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令n＝2，∵a1＝，∴S2＝a2， 　　即a1＋a2＝3a2．∴a2＝． 　　令n＝3，得S3＝a3，即a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝． 　　令n＝4，得S4＝a4，即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝． 　　(2)猜想an＝，下面用數學歸納法給出證明． 　　①當n＝1時，a1＝結論成立． 　　②假設當n＝k時，結論成立，即ak＝， 　　則當n＝k＋1時，Sk＝ak＝， 　　Sk+1＝， 　　即Sk＋ak+1＝． 　　∴． 　　∴ak+1＝． 　　∴當n＝k＋1時結論成立． 　　由①②可知，對一切n∈N*都有an＝成立． 　　思路分析：研究數列問題，可先由前n項歸納猜想，再證明．

提示：

由遞推關系或前n項和公式求通項可求出前n項，再歸納猜想，用數學歸納法證明數列的通項公式．