Question

( 本小題滿分12分)

已知點是離心率為的橢圓：上的一點．斜率為的直線交橢圓于、兩點，且、、三點不重合．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由？

（Ⅲ）求證：直線、的斜率之和為定值．

Answer 1

本小題主要考查橢圓的方程的求法，考察弦長公式的應用和利用均值不等式求最值的方法，考查思維能力、運算能力和綜合解題的能力．滿分12分．

〖解析〗（Ⅰ），  ，

∴，，

∴    ………………………………………………4分

       （Ⅱ）設直線BD的方程為

  

  ………………………①

    ………………………②

，

設為點到直線BD：的距離，

 ∴

∴ ，當且僅當時取等號.

因為，所以當時，的面積最大，最大值為………9分

  （Ⅲ）設，，直線、的斜率分別為： 、，則

= …………………………（*）

 將（Ⅱ）中①、②式代入（*）式整理得

=0，

即0………………………………………………………………12分