Question

已知直線l₁為曲線f（x）=x³+x-2在點（1，0）處的切線，直線l₂為該曲線的另一條切線，且l₂的斜率為1
（Ⅰ）求直線l₁、l₂的方程
（Ⅱ）求由直線l₁、l₂和x軸所圍成的三角形面積．

Answer 1

解：（Ⅰ）求得f'（x）=3x²+1．
∵（1，0）在曲線上，∴直線l₁的斜率為k₁=f'（1）=4
所以直線l₁的方程為y=4（x-1）即y=4x-4
設直線l₂過曲線f（x）上的點P（x₀，y₀），
則直線l₂的斜率為k₂=f'（x₀）=3x₀²+1=1
解得x₀=0，y₀=x₀³+x₀-2=-2即P（0，-2）
∴l₂的方程y=x-2
（Ⅱ）直線l₁、l₂的交點坐標為
直線l₁、l₂和x軸的交點分別為（1，0）和（2，0）
所以所求的三角形面積為
分析：（Ⅰ）求出f′（x），把x=1代入導函數即可求出直線l₁的斜率，然后根據斜率和（1，0）寫出直線l₁的方程即可；設直線l₂與曲線相切的切點坐標，將橫坐標代入導函數即可表示出直線l₂的斜率，又l₂的斜率為1，列出關于橫坐標的方程，求出解得到切點的橫坐標，代入f（x）中求得縱坐標，然后根據切點坐標和直線的斜率為1寫出直線l₂的方程即可；（Ⅱ）聯立兩條直線方程求出交點坐標，然后分別求出兩直線與x軸的交點坐標為（1，0）和（2，0），三角形以|2-1|長為底，交點的縱坐標||為高，根據三角形的面積公式即可求出面積．
點評：此題是一道綜合題，要求學生會根據導數研究曲線上某點的切線方程，會求兩條直線的交點坐標．