Question

已知直線l₁為曲線f（x）=x³+x-2在點(diǎn)（1，0）處的切線，直線l₂為該曲線的另一條切線，且l₂的斜率為1
（Ⅰ）求直線l₁、l₂的方程
（Ⅱ）求由直線l₁、l₂和x軸所圍成的三角形面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），把x=1代入導(dǎo)函數(shù)即可求出直線l₁的斜率，然后根據(jù)斜率和（1，0）寫出直線l₁的方程即可；設(shè)直線l₂與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)即可表示出直線l₂的斜率，又l₂的斜率為1，列出關(guān)于橫坐標(biāo)的方程，求出解得到切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入f（x）中求得縱坐標(biāo)，然后根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和直線的斜率為1寫出直線l₂的方程即可；（Ⅱ）聯(lián)立兩條直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)(

2

3

，-

4

3

)，然后分別求出兩直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）和（2，0），三角形以|2-1|長(zhǎng)為底，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)|-

4

3

|為高，根據(jù)三角形的面積公式即可求出面積．

解答：解：（Ⅰ）求得f'（x）=3x²+1．
∵（1，0）在曲線上，∴直線l₁的斜率為k₁=f'（1）=4
所以直線l₁的方程為y=4（x-1）即y=4x-4
設(shè)直線l₂過曲線f（x）上的點(diǎn)P（x₀，y₀），
則直線l₂的斜率為k₂=f'（x₀）=3x₀²+1=1
解得x₀=0，y₀=x₀³+x₀-2=-2即P（0，-2）
∴l(xiāng)₂的方程y=x-2
（Ⅱ）直線l₁、l₂的交點(diǎn)坐標(biāo)為(

2

3

，-

4

3

)
直線l₁、l₂和x軸的交點(diǎn)分別為（1，0）和（2，0）
所以所求的三角形面積為S=

1

2

×|2-1|×|-

4

3

|=

2

3

點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合題，要求學(xué)生會(huì)根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，會(huì)求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．