Question

已知向量

a

=（1，1），向量

b

與

a

的夾角為

3

4

π，且

a

•

b

=-1．
（1）求：向量

b

；
（2）若

b

與

q

=（1，0）的夾角為

π

2

，而向量

p

=(2sin

x

2

，cosx)，試求f（x）=|

b

+

p

|；
（3）已知△ABC的三邊長a、b、c滿足b²=ac且b所對的角為x，求此時（2）中的f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出向量

b

=（x，y），利用向量

b

與

a

的夾角為

3

4

π，且

a

•

b

=-1．得到 x+y=-1與 x²+y²=1，解方程求出x，y即可．
（2）利用（1）以及

b

與

q

=（1，0）的夾角為

π

2

，判斷

b

=（0，-1），表示

b

+

p

，然后利用向量的模的求法求出
f（x）=|

b

+

p

|．
（3）通過余弦定理以及b²=ac，求出1≥cosx≥

1

2

，通過函數的單調性求出f（x）的值域即可．

解答：解：（1）設向量

b

=（x，y）
∵

a

•

b

=-1，

a

•

b

=|a||

b

|cosΘ=1×x+1×y=x+y
∴x+y=-1…①
∵|

a

||

b

|cos

3

4

π=-

2

2

|

a

||

b

|=-

2

2

×

2

|

b

|=-|

b

|
∴|

b

|=1
∴x²+y²=1…②
①代入②得：
x²+（-x-1）²=1
可得 2x²+2x=0
x（x+1）=0，
∴x_₁=0，x₂=-1
   y_₁=-1，y₂=0
∴

b

=（0，-1），或

b

=（-1，0）
（2）因為

b

與

q

=（1，0）的夾角為

π

2

，所以

b

=（0，-1），
因為向量

p

=(2sin

x

2

，cosx)，

b

+

p

=(2sin

x

2

，cosx-1)，
所以f（x）=|

b

+

p

|=

(2sin x 2 )2+(cosx-1)2

=

cos2x-4cosx+3

（3）因為△ABC的三邊長a、b、c滿足b²=ac且b所對的角為x，
所以b²=a²+c²-2accosx，
∴ac=a²+c²-2accosx，ac+2accosx≥2ac，解得1≥cosx≥

1

2

，
f（x）=

cos2x-4cosx+3

，1≥cosx≥

1

2

，
因為f（x）=

cos2x-4cosx+3

=

(cosx-2)2-1

在1≥cosx≥

1

2

上是減函數，
所以f（x）∈[0，

5

2

]

點評：本題是中檔題，考查向量的數量積的兩種計算方法的應用，向量的模的求法，余弦定理以及二次函數的最值的求法，難度比較大的綜合題．