Question

一種變壓器的鐵芯的截面為正十字型，如圖，為保證所需的磁通量，要求十字型具有4

5

cm²的面積．問該如何設計正十字型的寬x及長y，才能使其外接圓的周長最短？

Answer 1

分析：設外接圓的半徑為Rcm，則 R=

1

2

x2+y2

，根據面積求出長，然后表示出外接圓的周長，利用導數研究函數的最小值即可．

解答：解：設外接圓的半徑為R cm，則 R=

1

2

x2+y2

．
　　由2xy-x²=4

5

，得 y=

4 5 +x2

2x

．
　　要使外接圓的周長最小，需要R取最小值，也即R²取最小值．
　　設 f（x）=R²=

1

4

[x²+（

4 5 +x2

2x

）²]=

5

16

x²+

5

x2

+

5

2

（0＜x＜2R）
     則 f'（x）=

5

8

x-

10

x3

．令f'（x）=0 解得x=2 或x=-2（舍去）．
　　當0＜x＜2 時f'（x）＜0；當x＞2 時，f'（x）＞0．
　　因此當x=2時，R²最小，即R最小，周長最小為π

10+2 5

cm．

點評：本題通過設間接變量，由題意得到一個函數，再確定它的最小值．間接處理所研究的目標，并用導數研究目標函數的最小值，是解本題的關鍵所在．