Question

一個(gè)口袋中有2個(gè)白球和n個(gè)紅球（n≥2，且n∈N^*），每次從袋中摸出兩個(gè)球（每次摸球后把這兩個(gè)球放回袋中），若摸出的兩個(gè)球顏色相同為中獎(jiǎng)，否則為不中獎(jiǎng)．
（1）試用含n的代數(shù)式表示一次摸球中獎(jiǎng)的概率P；
（2）若n=3，求三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率；
（3）記三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率為f（p），當(dāng)n為何值時(shí)，f（p）最大．

Answer 1

分析：（1）求出一次摸球從n+2個(gè)球中任選兩個(gè)方法，兩球顏色相同有C_n²+C₂²種選法，即可求出摸球中獎(jiǎng)的概率P；
（2）n=3，求出中獎(jiǎng)的概率，三次摸球是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，直接根據(jù)公式求三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率；
（3）求出三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率為f（p），利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求出n的值，使f（p）最大．

解答：解：（1）一次摸球從n+2個(gè)球中任選兩個(gè)，有C_n+2²種選法，其中兩球顏色相同有C_n²+C₂²種選法；一次摸球中獎(jiǎng)的概率P=

C 2 n + C 2 2

C 2 n+2

=

n2-n+2

n2+3n+2

（4分）
（2）若n=3，則一次摸球中獎(jiǎng)的概率是P=

2

5

，三次摸球是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，三次摸球中恰有一次中獎(jiǎng)的概率是P3(1)=

C

1 3

•P•(1-P)2=

54

125

（8分）
（3）設(shè)一次摸球中獎(jiǎng)的概率是p，則三次摸球中恰有一次中獎(jiǎng)的概率是f（p）=C₃¹•p•（1-p）²=3p³-6p²+3p，0＜p＜1，∵f'（p）=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1）∴f（p）在(0，

1

3

)是增函數(shù)，在(

1

3

，1)是減函數(shù)，
∴當(dāng)p=

1

3

時(shí)，f（p）取最大值（10分）
∴p=

n2-n+2

n2+3n+2

=

1

3

（n≥2，n∈N*），
∴n=2，故n=2時(shí)，三次摸球中恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查組合及組合數(shù)公式，等可能事件的概率，考查計(jì)算能力，是中檔題．