Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，，其中．
（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（2）用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)；
（3）當(dāng)，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為
（2）設(shè)任意，且，則利用作差法，結(jié)合變形，定號(hào)，下結(jié)論得到證明，注意變形化到最簡(jiǎn)即可。
（3）

試題分析：解：（1）函數(shù)是偶函數(shù)，，


 
即函數(shù)的圖象是頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為且開(kāi)口向下的拋物線，
在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減
又
 函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．
（2）設(shè)任意，且，則


 

又

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).
（3）對(duì)于，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象上方，等價(jià)不等式
＞在上恒成立，
即在上恒成立，
，解得 
所求實(shí)數(shù)的取值范圍為 
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解證明，屬于基礎(chǔ)題。。