Question

【題目】已知函數，.

（1）記，試判斷函數的極值點的情況；

（2）若有且僅有兩個整數解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）有極大值點，無極小值點（2）

【解析】

（1）由，令，根據，，得到存在唯一實數使得，即，再根據極值點的概念，即可求解；

（2）把不等式，可化為，即，對實數分類討論，即可求解.

（1）由題意，函數，可得，

令，可得函數在上單調遞增，

又由，，

所以存在唯一實數使得，即，

令，可得，令，可得，

所以在單調遞減，在單調遞增，

故為極大值點，無極小值點.

（2）由不等式，可化為，即.

①當時，由不等式有整數解，

所以函數在時，，所以有無窮多整數解.

②當時，，又由，，

所以不等式有兩個整數解為，

即，解得；

③當時，，又由，

所以不等式在時大于或等于1，所以無整數解，

綜上所述，可得