Question

（本題滿分12分）
已知為實數，，為的導函數.
（1）求導數；
（2）若，求在上的最大值和最小值；
（3）若在和上都是遞增的，求的取值范圍．

Answer 1

（1）.
（2）在上的最大值為，最小值為.
（3）.

本試題主要是考查了導數的幾何意義的運用和導數在研究函數最值的思想的運用，和利用單調性，逆向求解參數的取值范圍的綜合運用。
（1）主要是考查了初等函數的導數的計算。
（2）由由，得得到解析式，然后確定解析式后再求解導數，分析函數的單調性，得到最值。
（3）如果函數在給定區間單調遞增，說明在該區間導數值恒大于等于零，分離參數的思想求解得到。
解：（1）.
（2），.
由，得，此時，，
由，得或.
又，，，
在上的最大值為，最小值為.
（3）解法一，
依題意：對恒成立,即
,所以
對恒成立,即
,所以
綜上: .
解法二，的圖像是開口向上且過點的拋物線，由條件得，，
，.解得. 的取值范圍為．