Question

【題目】已知函數f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．

（1）求函數f（x）的單調遞增區間；

（2）若x∈[0，]，求函數f（x）的最值及相應x的取值．

Answer 1

【答案】（1）[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）見解析.

【解析】

試題（1）運用二倍角的正弦和余弦公式，及兩角和的正弦公式，化簡函數f（x），再由正弦函數的周期和單調增區間，解不等式即可得到．（2）由x的范圍，可得2x+ 的范圍，再由正弦函數的圖象和性質，即可得到最值．

試題解析：

（1）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2cos2x+1 =sin2x+cos2x+2= sin（2x+ ）+2，

令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

則kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

則有函數的單調遞增區間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．

（2）當x∈[0，]時，2x+ ∈[，]，

則有sin（2x+）∈[﹣1，1]，

則當x=時，f（x）取得最小值，且為1，

當x=時，f（x）取得最大值，且為+2