Question

【題目】如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點(diǎn)，Q為棱BB1上的點(diǎn)，且BQ=λBB1（λ≠0）．
（1）若 ，求AP與AQ所成角的余弦值；
（2）若直線AA1與平面APQ所成的角為45°，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以 為正交基底，建立如圖所示空

間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．

因?yàn)? ， ，

所以 = ．

所以AP與AQ所成角的余弦值為

（2）解：由題意可知， ， ．

設(shè)平面APQ的法向量為 =（x，y，z），

則 即

令z=﹣2，則x=2λ，y=2﹣λ．

所以 =（2λ，2﹣λ，﹣2）．

又因?yàn)橹本�AA1與平面APQ所成角為45°，

所以|cos＜ ， ＞|= = ，

可得5λ2﹣4λ=0，又因?yàn)棣恕?，所以 ．

【解析】（1）以 為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．求出 ， ，利用數(shù)量積求解AP與AQ所成角的余弦值．（2） ， ．求出平面APQ的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則)．