Question

（本題滿分14分）
已知函數(shù)，是方程f(x)=0的兩個(gè)根，是f(x)的導(dǎo)數(shù).
設(shè)，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）證明：對任意的正整數(shù)n，都有>a；
（3）記（n=1,2,……），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n。

Answer 1

略

(1)解方程x²+x-1=0得x=
由?知?=,β=     
(2) f’ (x)=2x+1
    ="    " -                ="            "
下面我們用數(shù)學(xué)歸納法來證明該結(jié)論成立
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1<=?成立，
②假設(shè)n=k(k≥1, k∈N*)時(shí)，結(jié)論也成立，即a_k<成立，
③那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
==-+<-+=+=
這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，故對于任意的正整數(shù)n，都有a_n<
(3)
="            " ="                      " =
=()²
由題意知a_n>,那么有a_n>β，于是對上式兩邊取對數(shù)得
ln=ln()²="2" ln()
即數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)為b₁= ln()="2ln(      " )，公比為2的等比數(shù)列。
故其前n項(xiàng)和
 
S_n="2ln(      " )     ="2ln(      " )(2ⁿ -1).