Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且滿足：a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；數(shù)列{b_n}滿足：bn-bn-1=an-1(n≥2，n∈N*)，b₁=1．
（1）求a_n和b_n；
（2）記數(shù)列cn=

1

bn+2n

，(n∈N*)，若{c_n}的前n項和為T_n，求證Tn∈[

1

3

，1)．

Answer 1

分析：（1）利用公差與首項表示已知，可求a₁，d，進(jìn)而可求a_n，由b_n-b_n-1=a_n-1=利用累加法可求b_n
（2）由cn=

1

bn+2n

=

2

n2+3n+2

=

2

(n+1)•(n+2)

=2•(

1

n+1

-

1

n+2

)，利用裂項可求T_n，可證

解答：解：（1）因為a₁+a₂+a₃=6，a₅=5，所以

3a1+3d=6 a1+4d=5

⇒

a1=1 d=1

，
所以a_n=n；
又b_n-b_n-1=a_n-1=n-1，

(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(bn-2-bn-3)+…+(b3-b2)+(b2-b1) =(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1

得bn-b1=

n(n-1)

2

，所以bn=

n(n-1)

2

+b1=

n2-n+2

2

．
（2）因為cn=

1

bn+2n

=

2

n2+3n+2

=

2

(n+1)•(n+2)

=2•(

1

n+1

-

1

n+2

)，

Tn=2( 1 2 - 1 3 )+2( 1 3 - 1 4 )+2( 1 3 - 1 4 )+…+2( 1 n - 1 n+1 )+2( 1 n+1 - 1 n+2 ) =2( 1 2 - 1 n+2 )=1- 2 n+2

而0＜

2

n+2

≤

2

3

，所以Tn∈[

1

3

，1)．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及累加求解數(shù)列通項方法的應(yīng)用，裂項求和是證明（2）的關(guān)鍵．