Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，拋物線的焦點為F，過F的動直線l交于M、N兩點.

（1）若l垂直于x軸，且線段MN的長為1，求的方程；

（2）若，求線段MN的中點P的軌跡方程；

（3）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

（1）由題意，（，±）在拋物線上，代入可求出p，問題得一解決，

（2）利用點差法和中點坐標公式和點斜式方程即可求出，

（3）拋物線Γ：y2＝2px（p＞0），設l：xmy，M（x1，y1），y1＞0，N（x2，y2），y2＜0根據根系數的關系和兩角和的正切公式，化簡整理即可求出．

解：（1）由題意，（，±）在拋物線上，代入可求出p，

∴Γ的方程為y2＝x，

（2）拋物線Γ：y2＝4x，設M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）

∴，

∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1+x2），

∴k，

于是l為y﹣y0（x﹣x0），

又l過點F（1，0），

∴﹣y0（1﹣x0），

即y02＝2（x0﹣1），

故線段MN的中點P的軌跡方程為y2＝2（x﹣1）

（3）拋物線Γ：y2＝2px（p＞0），設l：xmy，M（x1，y1），y1＞0，N（x2，y2），y2＜0，

則y2﹣2my﹣p2＝0，

∴y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p2，

則tan∠MON＝tan（∠MOF+∠NOF），

，

，

，

，

，

故tan∠MON的取值范圍是（﹣∞，]