Question

已知函數的導函數是二次函數，當時，有極值，且極大值為2，.
（1）求函數的解析式；
（2）有兩個零點，求實數的取值范圍；
（3）設函數，若存在實數，使得，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）先通過函數的導函數是二次函數，且當時，有極值將函數的導函數設出來：.從而可設，其中為常數.再由極大值為2及將求出.注意，極大值為2，即或時，函數值為2.結合正好可以將其中一種情況舍去,從而解出,于是得到函數的解析式；（2）由，列出表格，分析函數的單調性和極值.有兩個零點，即方程有兩個根，而，即方程與方程各只有一個解.結合函數的單調性和極值，發現方程只有當或時才只有一個解.所以有或或，從而解得或；（3）由于存在實數，使得，也就是說，否則就不存在實數，使得.因此本題轉化為求在上的最大值與最小值.根據條件可得，所以其導函數.然后討論的范圍以得到在上單調性，從而找出最值.再通過不等式得到的取值范圍.注意當時比較麻煩，在上先減后增，，而最大值無法確定是中的哪一個，所以我們用來表示不等式.
試題解析：（1）由條件，可設，則，其中為常數.
因為極大值為2.所以或，即或.由得①.所以，即②.由①②可得，.所以.
（2）由（1），得，即.列表：

		-1	（-1,0）	1
	-	0	+	0	-
		極小值-2		極大值2

又因為函數有兩個根，即方程有兩個根，而，
所以或或，解得或.
所以若函數有兩個零點，實數的取值范圍為.
（3）由于存在實數，使得，則問題等價于.
，
，.在上，
當時，，在上遞減，
，即，得.
當時，，在上遞增，
，即，得.
當時，在上，遞減；在上，遞增.
,即.（*）
，在上遞減，.
，而，不等式（*）無解.
綜上所述，存在，使得命題成立.