Question

【題目】已知圓C1：（x+2）2+（y﹣1）2=4與圓C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，過點P（﹣1，5）作兩條互相垂直的直線l1：y=k（x+1）+5，l2：y=﹣ （x+1）+5．
（1）若k=2時，設l1與圓C1交于A、B兩點，求經過A、B兩點面積最小的圓的方程．
（2）若l1與圓C1相交，求證：l2與圓C2相交，且l1被圓C1截得的弦長與l2被圓C2截得的弦長相等．
（3）是否存在點Q，過Q的無數多對斜率之積為1的直線l3 ， l4 ， l3被圓C1截得的弦長與l4被圓C2截得的弦長相等．若存在求Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當k=2時，l1的方程為y=2x+7

聯立方程組 ，整理得5x2+28x+36=0

設A、B為A（x1，y1），B（x2，y2）∴ ， ， ， ，

經過A、B兩點面積最小的圓應是以AB為直徑的圓，

圓的方程為（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0．

即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0

所求圓的方程：

（2）解：設圓C1的圓心到l1的距離為d1，圓C2的圓心到l2的距離為d2，則 ，

∴l2與圓C2相交，

∵兩圓的半徑相等，而兩弦心距相等，

∴所截得的弦長相等．

（3）解：設Q（a，b）3的方程為y=m（x﹣a）+b．l4的方程為 ，

依題意圓C1的圓心到l3的距離為 ，

由d3=d4得|1﹣b+m（a+2）|=|a﹣3+m（4﹣b）|

∴1﹣b+m（a+2）=a﹣3+m（4﹣b）①

或1﹣b+m（a+2）=3﹣a+m（b﹣4）②

①②對于無數多個m的值都成立

∴ ③

或 ④

③④都無解∴Q不存在

【解析】（1）經過A、B兩點面積最小的圓應是以AB為直徑的圓；（2）證明l2與圓C2相交，利用兩圓的半徑相等，而兩弦心距相等，可得所截得的弦長相等；（3）由d3=d4得|1﹣b+m（a+2）|=|a﹣3+m（4﹣b）|∴1﹣b+m（a+2）=a﹣3+m（4﹣b）①或1﹣b+m（a+2）=3﹣a+m（b﹣4）②，①②對于無數多個m的值都成立． ③或 ④，③④都無解，即可得出結論．