Question

已知點．若曲線上存在兩點，使為正三角形，則稱為型曲線．給定下列三條曲線：①； ②；③．其中，型曲線的個數是（ ▲ ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

C

對于①，該線段的兩端點的距離為，該點直線的距離為，若存，使為正三角形，則該正三角形的邊長為，且，所以存在；
對于②，表示在第二象限的的半圓。假設是全圓，那么該點和原點的連線為圓的直徑，也必為正三角形的中垂線，而此時為半圓，只能是在第三象限 的圓弧上對稱存在兩點。而該點和這兩點所成的線段的夾角最小為（-1 -1）,（0 -1），（-1 0）三個點構成的夾角，必大于60度，所以不可能。
對于③表示雙曲線在第四象限的一支，由于曲線是無窮長的，那么如果給定曲線上一點，必有另外一點與（-1 -1）該點的距離相等，由于線段的長度可以是連續變化的，那么兩條線段之間的夾角也是可以連續變化的，所以總有成60度的時候，由于兩條線段是按相等來取的，所以成正三角形。所以選C