Question

【題目】記焦點在同一條軸上且離心率相同的橢圓為“相似橢圓”．已知橢圓，以橢圓的頂點焦點為作相似橢圓．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓交于，兩點，且與橢圓僅有一個公共點，試判斷的面積是否為定值（為坐標原點）？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的面積為定值6

【解析】

（Ⅰ）橢圓的焦點為橢圓的頂點，故可得橢圓的焦點，離心率與橢圓相同，故可得橢圓；

（Ⅱ）當直線的斜率存在時，設出直線，由直線與橢圓只有一個公共點得出與的等量關系，然后再用與求出的長度、點到直線的距離，從而得出的面積，利用減元思想便可得結果。

解：（Ⅰ）由條件知，橢圓的離心率，且焦點為，，

∴橢圓的方程為；

（Ⅱ）當直線的斜率存在時，設直線．

聯立方程組得，

，

因為直線與橢圓僅有一個公共點，

故得，

．

聯立方程組，

化簡得．

設，，

則 ，

，

原點到直線的距離,

，

當直線的斜率不存在時，

或，則，

原點到直線的距離，

．

綜上所述，的面積為定值6