Question

設a=x²-x+1，b=x²-2x，c=2x-1，若a，b，c分別為△ABC的相應三邊長，
（1）求實數x的取值范圍；
（2）求△ABC的最大內角；
（3）設△ABC的外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）構成三角形的條件是三邊均為正數，且任意兩邊之和大于第三邊，可求實數x的取值范圍；
（2）先根據邊長之間的關系，確定A為最大角，進而利用余弦定理，可求△ABC的最大內角；
（3）根據正弦定理確定△ABC的外接圓半徑為R，根據等面積確定內切圓半徑為r，從而可得的不等式，進而可求其取值范圍．
解答：解：（1）由題意，
∵構成三角形的條件是三邊均為正數，∴，∴x＞2，
又∵任意兩邊之和大于第三邊
∴a-b=x+1＞0，a-c=（x-1）（x-2）＞0
∴b+c＞a，∴x²-2x+2x-1＞x²-x+1，∴x＞2…（4分）
（2）由（1）可知A為最大角，，
∵A為三角形的內角，∴A=120°．…（10分）
（3）根據正弦定理得：…（11分）
利用三角形的面積相等可得，
∴…（12分）
∴…（14分）
令x-2=t＞0，則
∵t＞0，
∴
∴
∴…（16分）
點評：本題的考點是解三角形，主要考查構成三角形的條件，考查正弦、余弦定理，同時考查基本不等式的運用，其中構建的表達式是解題的關鍵．