Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，過動點作直線的垂線，垂足為，且.記動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點的直線交曲線于不同的兩點，.

①若為線段的中點，求直線的方程；

②設關于軸的對稱點為，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）①.②

【解析】

（1）設，利用直接法求曲線的方程；

（2）①由已知，分析可知直線的斜率存在且不為零，設，聯立拋物線方程，利用韋達定理解決；②將用直線的斜率表示，即，再結合的范圍即可解決.

（1）設，則．

因為，所以，

因為，所以，即.

所以曲線的方程為.

（2）①若直線的斜率不存在，則與曲線無公共點，因此的斜率存在；

若的斜率為0，則與曲線只有一個公共點，因此的斜率不為0.

設，

由得，于是，解得且．

設，，則.

因為為線段的中點，所以．

又，所以，

因此，所以，符合且，

于是，此時直線的方程為.

②因為點，關于軸對稱，所以，

于是點到直線的距離為.

因為，所以.

又，

所以.

因為，所以.

又因為且，因此，

即面積的取值范圍為.