Question

設(shè)直線?與橢圓

x2

25

+

y2

16

=1相交于A、B兩點，?又與雙曲線x²-y²=1相交于C、D兩點，C、D三等分線段AB．求直線?的方程．

Answer 1

分析：先看當直線l斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，l與橢圓、雙曲線的交點為：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）直線方程分別橢圓和雙曲線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₃+x₄的表達式，進而根據(jù)

AC

=

DB

求得k=0或b=0，分別求得k=0時和b=0時直線方程；進而看直線l與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為x=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可求得交點坐標，根據(jù)|

AB

|=3|

CD

|求得c，最后綜合可得答案．

解答：解：首先討論l不與x軸垂直時的情況，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，如圖所示，

l與橢圓、雙曲線的交點為：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
依題意有

AC

=

DB

，

AB

=3

CD

，
由

y=kx+b x2 25 + y2 16 =1

得(16+25k2)x2-2bkx+(25b2-400)=0(1)
∴x1+x2=-

50bk

16+25k2

由

y=kx+b x2-y2=1

得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0(2)
若k=±1，則與雙曲線最多只有一個交點，不合題意，故k≠±1∴x3+x4=

2bk

1-k2

由

AC

=

DB

?x3-x1=x2-x4?x1+x2=x3+x4?-

50bk

16+25k2

=

2bk

1-k2

?bk=0?k=0或b=0
(i)當k=0時，由(1)得x1，2=±

5

4

16-b2

，由(2)得x3，4=±

b2+1

由

AB

=3

CD

?x2-x1=3(x4-x3)，即

10

4

16-b2

=6

b2+1

?b=±

16

13

故l的方程為y=±

16

13

（ii）當b=0時，由（1）得x1，2=±

20

16+25k2

，由(2)得x3，4=±

1

1-k2

由由

AB

=3

CD

?x2-x1=3(x4-x3)即

40

16+25k2

=

6

1-k2

?k=±

16

25

故l的方程為y=±

16

25

x
再討論l與x軸垂直的情況．
設(shè)直線l的方程為x=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可解得，y1，2=±

4

5

25-c2

，y3，4=±

c2-1

由|

AB

|=3|

CD

|?|y2-y1|=3|y4-y3|即

8

5

25-c2

=6

c2-1

?c=±

25 241

241

故l的方程為x=±

25 241

241

綜上所述，
故l的方程為y=±

16

13

、y=±

16

25

x和x=±

25 241

241

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．當直線與圓錐曲線相交時，應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍．