Question

【題目】定義在上的函數(shù)為增函數(shù)，對任意都有（為常數(shù)）

（1）判斷為何值時(shí)，為奇函數(shù)，并證明；

（2）設(shè)，是上的增函數(shù)，且，若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（3）若，，為的前項(xiàng)和，求正整數(shù)，使得對任意均有.

Answer 1

【答案】（1） 是奇函數(shù)（2）（3）

【解析】試題分析: （1）根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)的性質(zhì)，有，求得k的值，再根據(jù)，賦值，即可得到與之間的關(guān)系，根據(jù)奇函數(shù)的定義，即可證得結(jié)論；
（2）將代入恒等式可得，再利用恒等式進(jìn)行賦值，將3轉(zhuǎn)化為f（2），再根據(jù)f（x）的單調(diào)性去掉“f”，轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，采用換元法，再用變量分離出結(jié)果

（3）實(shí)際是找數(shù)列的最大值，根據(jù)通項(xiàng)的正負(fù)情況，前四項(xiàng)都是正數(shù)，從第五項(xiàng)起是負(fù)數(shù)，所以很容易找出的最大值為，再根據(jù)f(x)的單調(diào)性的結(jié)果；

試題解析:

（1）若在上為奇函數(shù)，則，令

則，所以

證明：由，令，，則

又，則有，即對任意成立，

所以是奇函數(shù).

（2）因?yàn)?/span>，所以

所以對任意恒成立.

又是上的增函數(shù)，所以對任意恒成立，

即對任意恒成立.令，則恒成立,,令,g(t)在（0,1+）遞減，在遞增，最小值為g(所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

(3)

因?yàn)?/span>；

當(dāng)n≥5時(shí)，

,而>0得

所以，當(dāng)n≥5時(shí)，＜0，所以對任意n∈N*恒有故k=4, ∵f(x)是增函數(shù)，所以