Question

【題目】已知函數，，其中e是自然對數的底數．

（1）若曲線在處的切線與曲線也相切．

①求實數a的值；

②求函數的單調區間；

（2）設，求證：當時，恰好有2個零點．

Answer 1

【答案】（1）①，②函數的單調減區間為，單調增區間為；（2）證明見解析

【解析】

（1）①利用導數的幾何意義求出在處的切線方程，再利用切線與曲線也相切，可求得的值；②由①知，對絕對值內的數進行分類討論，再利用導數分別研究分段函數的單調性.

（2）由，得，令，，當時，，故在上單調遞增，再利用零點存在定理證明函數的極小值小于0，及，即證得結論；

（1）①由得，所以切線的斜率．

因為切點坐標為，所以切線的方程為．

設曲線的切點坐標為．

由得，

所以，得．

所以切點坐標為．

因為點也在直線上．所以．

②由①知．

當時，，

因為恒成立，所以在上單調遞增．

當時，．

所以．

因為恒成立，所以在上單調遞增．

注意到，所以當時，；當時，．

所以在上單調遞減，在上單調遞增．

綜上，函數的單調減區間為，單調增區間為．

（2）由，得．

令，，當時，，

故在上單調遞增．

又因為，且，

所以在上有唯一解，從而在上有唯一解．

不妨設為，則．

當時，，所以在上單調遞減；

當時，，所以在上單調遞增．

故是的唯一極值點．

令，則當時，，所以在上單調遞減，

從而當時，，即，

所以，

又因為，所以在上有唯一零點．

又因為在上有唯一零點，為1，

所以在上恰好有2個零點．