Question

【題目】已知橢圓的離心率，且經過點，是拋物線上一點，過點作拋物線的切線，與橢圓交于，兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線平分弦，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）易得，結合橢圓的離心率及即可求出，的值，進而可得橢圓的方程；

（2）先根據題意得出切線的方程，然后將切線方程代入橢圓方程，最后利用根的判別式、根與系數的關系、函數的單調性求解即可．

（1）由題意可知，，，

又，

所以，，

所以橢圓的方程是．

（2）由題意可設，

因為，即，所以，

所以切線的方程是，即，

將其代入橢圓方程得，

故，即．①

設，，則，

又直線平分弦，所以，

所以，即，②

將②代入①得，③

由②③得．

設，

則，恒成立，

所以在上單調遞減，

所以，

所以，

解得．