Question

（本小題14分）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在處切線的斜率；
(2)求的單調區(qū)間；
（3）設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)曲線在處切線的斜率為.
(Ⅱ)函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.
（Ⅲ）.

本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
（1）本試題主要是考查了導數(shù)的幾何意義的運用。
（2）求解導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的符號來求解函數(shù)的單調增減區(qū)間。
（3）根據(jù)已知條件可知轉換為函數(shù)的最值之間的關系，進而求解得到結論。
解：(Ⅰ)由已知，…………………………（2分）
.故曲線在處切線的斜率為.……………（4分）
(Ⅱ).………………………（5分）
①當時，由于，故，
所以，的單調遞增區(qū)間為.…………………………（6分）
②當時，由，得.在區(qū)間上，，在區(qū)間上，
所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.…（8分）
（Ⅲ）由已知，轉化為.……………………………（9分）
…………………………………………（10分）
由(Ⅱ)知，當時，在上單調遞增，值域為，故不符合題意.
(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)……………（11分）
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
故的極大值即為最大值，，……（13分）
所以解得. ……………………（14分）