Question

設函數
（1）若f'（x）=0，求x的值；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）已知對任意x∈（0，1）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導數f′（x），解方程f'（x）=0，可得x的值；
（2）求導數f′（x），然后在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（3）對于未知數在指數上的式子，往往取對數進行解答．
解答：解：（1）f′（x）=-，f'（x）=0，即=0，
所以lnx+1=0，解得；
（2）f′（x）=-，
令f′（x）＞0，得0＜x＜，f（x）遞增；令f′（x）＜0，得x且x≠1，
所以函數f（x）的增區間為（0，），減區間為（，1），（1，+∞）；
（3）在＞xa兩邊取對數，得ln2＞alnx，由于0＜x＜1，所以＞（1），
由（1）的結果可知，當x∈（0，1）時，f（x）≤f（）=-e，
為使（1）式對所有x∈（0，1）成立，當且僅當＞-e，即a＞-eln2．
點評：本題考查利用導數研究函數的極值、單調性，考查函數恒成立問題，恒成立問題往往轉化為函數最值解決．